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유클리드 공간

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목차

1. 개요

유클리드 공간은 음이 아닌 정수 n에 대해 실수 집합 R의 n번 곱집합인 n차원 공간을 의미하며, 실수의 힐베르트 공간을 이룬다. 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간 등 다양한 수학적 구조를 가지며, 고대 그리스 시대부터 추상화되어 현대 수학의 중요한 개념으로 자리 잡았다. 데카르트 좌표계를 통해 기하학적 문제를 대수적으로 해결하는 데 기여했으며, 비유클리드 기하학, 굽은 공간, 의사 유클리드 공간 등 다양한 공간의 개념을 확장하는 기반이 되었다.

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유클리드 공간
개요
종류n차원 유클리드 공간
차원n
기호R
}}
같이 보기
관련 항목기하학
데카르트 좌표계
벡터 공간
내적 공간
다양체 (수학)
유클리드 기하학

2. 정의

음이 아닌 정수 n=0, 1, 2, \dots에 대하여, n차원 '''유클리드 공간''' \mathbb R^n은 기본적으로 실수 집합 \mathbb R을 n번 곱집합한 집합으로 생각할 수 있다. 이 공간의 원소는 n개의 실수로 이루어진 순서쌍 (x_1, x_2, \dots, x_n)으로 나타낼 수 있으며, 이를 점 또는 벡터로 간주한다.

유클리드 공간의 핵심적인 특징은 두 벡터 u=(u_1, \dots, u_n)와 v=(v_1, \dots, v_n) 사이에 내적(점곱)이 정의된다는 점이다. 표준적인 내적은 다음과 같이 계산된다.

:\langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n

이 내적을 통해 벡터의 길이(또는 노름) \|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle}와 두 벡터 사이의 각도를 정의할 수 있다. 또한, 두 점 P, Q 사이의 거리는 두 점을 잇는 벡터 \overrightarrow{PQ}의 길이 d(P, Q) = \|\overrightarrow{PQ}\|로 정의된다. 이러한 거리와 각도의 정의는 유클리드 공간이 우리가 직관적으로 이해하는 기하학적 구조를 갖도록 해준다.

내적 구조 덕분에 유클리드 공간은 완비성을 갖춘 내적 공간인 실수 힐베르트 공간이 된다. 따라서 유클리드 공간은 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간으로서의 성질도 모두 지닌다.

또한, 유클리드 공간은 자연스럽게 좌표계를 설정하여 매끄러운 다양체 및 리만 다양체로 간주할 수 있다. 이 경우, 리만 계량 텐서로부터 유도되는 거리는 내적으로부터 정의된 거리와 일치한다.

가장 대표적인 n차원 유클리드 공간의 예시는 위에서 설명한 \mathbb{R}^n 공간에 표준 내적(점곱)을 부여한 것이며, 이를 '''표준 유클리드 공간'''이라고 부른다. 중요한 점은 모든 n차원 유클리드 공간은 이 표준 유클리드 공간과 구조적으로 동일하다는 것, 즉 동형이라는 것이다.

엄밀하게 말하면, 유클리드 공간은 점들의 집합(특정 원점이 고정되지 않은 아핀 공간)이고, 벡터는 이 점들 사이의 변위나 평행이동을 나타내는 것으로 구분하기도 한다. 하지만 많은 경우, 특히 좌표계를 도입한 후에는 벡터 공간인 \mathbb{R}^n 자체를 유클리드 공간으로 지칭하며 사용해도 큰 혼동은 없다.

2. 1. 역사적 배경

유클리드 공간은 고대 그리스인들에 의해 우리 물리적 공간의 추상화로 도입되었다. 유클리드의 ''원론''에 나타난 중요한 혁신은, 물리적 세계에서 추상화된 몇 가지 기본적인 속성(더 기본적인 도구로는 수학적으로 증명할 수 없는 것들)에서 출발하여 모든 기하학을 구축하고 증명하는 것이었다. 이러한 속성은 현대 언어에서 공준 또는 공리라고 불린다. 유클리드 공간을 정의하는 이러한 방식은 여전히 합성 기하학이라는 이름으로 사용되고 있다.

1637년, 르네 데카르트는 데카르트 좌표를 도입하여 이러한 좌표를 사용하여 기하학적 문제를 숫자를 사용한 대수적 계산으로 축소할 수 있음을 보여주었다. 기하학을 대수학으로 환원하는 것은 관점의 주요 변화였는데, 그 전까지는 실수가 길이와 거리에 따라 정의되었기 때문이다.

유클리드 기하학은 19세기까지 3차원 이상의 공간에는 적용되지 않았다. 루드비히 슐레플리는 합성적 방법과 대수적 방법을 사용하여 유클리드 기하학을 n차원 공간으로 일반화했으며, 임의 차원의 유클리드 공간에 존재하는 모든 정다포체(플라톤 다면체의 고차원 유사체)를 발견했다.

해석 기하학이라고 불린 데카르트의 접근 방식이 널리 사용되었음에도 불구하고, 유클리드 공간의 정의는 19세기 말까지 변하지 않았다. 추상적인 벡터 공간의 도입은 순수하게 대수적인 정의로 유클리드 공간을 정의하는 데 사용할 수 있게 했다. 이 새로운 정의는 기하학적 공리에 따른 고전적인 정의와 동등한 것으로 나타났다. 현재 유클리드 공간을 도입하는 데 가장 자주 사용되는 것은 바로 이러한 대수적 정의이다.

2. 2. 현대적 정의

유클리드 공간을 이해하는 한 가지 방법은 점 집합으로 보고, 이 점들 사이의 관계(예: 거리, 각도)를 생각하는 것이다. 예를 들어, 평면 위에서는 모든 점을 같은 방향, 같은 거리만큼 움직이는 평행이동과, 한 점을 중심으로 모든 점을 같은 각도만큼 돌리는 회전이라는 두 가지 기본적인 연산(운동)이 있다. 유클리드 기하학에서는 두 도형이 평행이동, 회전, 반사의 조합(유클리드 운동군)을 통해 서로 변환될 수 있다면 합동(같은 모양과 크기)이라고 본다.

이러한 개념들을 수학적으로 엄밀하게 다루기 위해, 현대 수학에서는 유클리드 공간을 내적이 정의된 실수 벡터 공간이 작용하는 점들의 집합으로 정의한다. 즉, 유클리드 공간은 내적을 갖춘 '평행이동 공간'이다. 여기서 평행이동의 작용은 공간을 아핀 공간으로 만들며, 이를 통해 직선, 평면, 부분 공간, 차원, 평행 등의 개념을 정의할 수 있다. 또한, 내적을 이용하여 점들 사이의 거리와 각도를 정의할 수 있다.

유클리드 평면의 원점 없는 그림


구체적으로, 음이 아닌 정수 n에 대해 '''n차원 유클리드 공간 E^n'''은 다음 조건을 만족하는 집합 S와 n차원 실수 내적 공간 V의 쌍 (S, V)로 정의된다.

# S는 공집합이 아니다.

# S 안의 임의의 두 점 P, Q에 대해, V의 벡터 \overrightarrow{PQ}가 유일하게 결정된다.

# S 안의 임의의 세 점 P, Q, R에 대해, 벡터 덧셈 규칙 \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}이 성립한다.

# S 안의 임의의 점 P와 V 안의 임의의 벡터 v에 대해, v = \overrightarrow{PQ}를 만족하는 점 Q \in S가 유일하게 존재한다.

이 정의에서 V의 벡터는 S 위의 평행이동으로 생각할 수 있다. 두 번째 조건은 평행이동의 합성을 나타내고, 세 번째 조건은 임의의 점을 다른 임의의 점으로 옮기는 평행이동 벡터가 유일하게 존재함을 의미한다. 어떤 음이 아닌 정수 n에 대한 n차원 유클리드 공간을 단순히 '''유클리드 공간'''이라고 부른다.

가장 대표적인 유클리드 공간의 예시는 점곱(표준 내적)이 정의된 실수 n-튜플의 집합 \mathbb{R}^n이다. \mathbb{R}^n의 두 점(벡터) x, y에 대해 벡터 \overrightarrow{xy}를 y-x로 정의하면, 쌍 (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)은 n차원 유클리드 공간의 정의를 만족한다. 이를 n차원 '''표준 유클리드 공간'''이라고 부르며, 많은 경우 단순히 \mathbb{R}^n으로 표기한다.

일반적인 n차원 유클리드 공간 (S, V)에서 특정 점 O \in S를 '''원점'''으로 선택하고, 벡터 공간 V의 순서 기저 \mathbf{B} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n)를 선택하면, 이를 유클리드 공간의 '''좌표계''' (O; \mathbf{B})라고 부른다. 특히 기저 \mathbf{B}가 V의 정규 직교 기저일 경우, 이를 '''직교 좌표계'''라고 한다. 좌표계가 주어지면, 공간 S의 임의의 점 P는 벡터 \overrightarrow{OP}를 기저 벡터들의 선형 결합으로 표현하여 유일한 좌표 \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n를 갖게 된다.

:\overrightarrow{OP} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 + \cdots + x_n\mathbf{e}_n

직교 좌표계를 하나 선택하면, n차원 유클리드 공간 (S, V)는 표준 유클리드 공간 \mathbb{R}^n과 사실상 동일하게 다룰 수 있으므로, 유클리드 공간이라고 하면 표준 유클리드 공간을 지칭하는 경우가 많다.

이처럼 추상적인 정의(\mathbb{E}^n 또는 (S, V))를 사용하는 이유는 종종 특정 좌표계나 원점을 미리 고정하지 않고 유클리드 공간의 본질적인 기하학적 성질을 다루는 것이 더 선호되기 때문이다(즉, 선호하는 기저와 선호하는 원점을 선택하지 않고). 또한, 우리가 경험하는 물리적 세계에는 수학적인 의미의 표준 원점이나 표준 기저가 존재하지 않는다는 점을 반영하기도 한다.

유클리드 공간은 내적(계량)을 가진 특별한 아핀 공간으로 볼 수 있다. 만약 n차원 유클리드 공간의 정의에서 "실수 내적 공간"을 "실수 벡터 공간"으로 대체하면 n-'''차원 아핀 공간'''이 된다. 계량을 갖지 않는 아핀 공간에서는 두 점 사이의 거리나 선분이 이루는 각도 등은 정의되지 않지만, 유클리드 공간에서는 내적을 통해 이러한 개념을 정의할 수 있다.

2. 3. 기술적 정의

'''유클리드 벡터 공간'''은 실수에 대한 유한 차원 내적 공간이다.

'''유클리드 공간'''은 연관된 벡터 공간이 유클리드 벡터 공간인 아핀 공간이다. 유클리드 공간은 때때로 유클리드 벡터 공간과 구별하기 위해 ''유클리드 아핀 공간''이라고 불린다.

만약 *E*가 유클리드 공간이라면, 연관된 벡터 공간(유클리드 벡터 공간)은 종종 \overrightarrow E로 표기된다. 유클리드 공간의 '''차원'''은 연관된 벡터 공간의 차원이다.

  • E*의 원소는 '''점'''이라고 불리며, 일반적으로 대문자로 표기된다. \overrightarrow E의 원소는 '''유클리드 벡터''' 또는 '''자유 벡터'''라고 불린다. 또한 '''평행 이동'''이라고도 불리는데, 엄밀히 말하면 평행 이동은 유클리드 벡터가 유클리드 공간에서 작용한 결과로 나타나는 기하학적 변환이다.


점 *P*에 대한 평행 이동 *v*의 작용은 *P* + *v*로 표기되는 점을 제공한다. 이 작용은 다음을 만족한다.

P+(v+w)= (P+v)+w.

(참고: 좌변의 두 번째 +는 벡터 덧셈이고, 다른 모든 +는 점에 대한 벡터의 작용을 나타낸다. 이 표기법은 모호하지 않은데, +의 두 가지 의미를 구별하려면 왼쪽 인수의 성질을 살펴보면 충분하다.)

이 작용이 자유롭고 추이적이라는 사실은 모든 점 (*P*, *Q*) 쌍에 대해 *P* + *v* = *Q*를 만족하는 정확히 하나의 변위 벡터 *v*가 존재한다는 것을 의미한다. 이 벡터 *v*는 *Q* − *P* 또는 \overrightarrow {PQ}로 표기된다.

임의의 벡터 공간에 대해, 덧셈은 벡터 공간 자체에서 자유롭고 추이적으로 작용한다. 따라서 유클리드 벡터 공간은 연관된 벡터 공간을 자신으로 갖는 유클리드 공간으로 볼 수 있다.

유클리드 벡터 공간의 대표적인 예는 내적으로서의 점곱이 갖춰진 벡터 공간으로 간주되는 \mathbb{R}^n이다. 유클리드 공간의 이 특정 예가 중요한 이유는 모든 유클리드 공간이 이 공간과 동형이기 때문이다. 더 정확하게 말하면, *n*차원의 유클리드 공간 *E*가 주어졌을 때, '원점'이라고 불리는 점과 \overrightarrow E의 정규 직교 기저를 선택하면 *E*에서 \mathbb{R}^n으로의 유클리드 공간의 동형 사상이 정의된다.

차원이 *n*인 모든 유클리드 공간이 이 공간과 동형이기 때문에, 유클리드 공간 \mathbb{R}^n은 때때로 *n*차원의 '''표준 유클리드 공간'''이라고 불린다.

유클리드 공간은 기술적으로 벡터 공간이 아니라 (벡터 공간이 작용하는) 아핀 공간으로 생각해야 한다. 직관적으로, 이 차이는 유클리드 공간은 원점의 위치를 표준적으로 정할 수 없다(평행 이동으로 어디든지 움직일 수 있기 때문에)는 것을 의미한다. 대부분의 경우, 이 차이를 무시해도 그다지 문제를 일으키지 않을 것이다.

음이 아닌 정수 *n*에 대해 '''*n*차원 유클리드 공간 E^n'''은 공집합이 아닌 집합 *S*와 *n*차원 실수 내적 공간 *V*의 쌍 (*S*, *V*)로, 다음을 만족하는 것을 말한다.

# 각 *P*, *Q* ∈ *S*에 대해, *V*의 벡터 \overrightarrow{PQ}가 하나 정해져 있다.

# 임의의 *P*, *Q*, *R* ∈ *S*에 대해, \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}이다.

# 임의의 *P* ∈ *S*와 임의의 *v* ∈ *V*에 대해, 딱 하나 *Q* ∈ *S*가 존재하여, *v* = \overrightarrow{PQ}이다.

어떤 음이 아닌 정수 *n*에 대한 *n*차원 유클리드 공간을 단순히 '''유클리드 공간'''이라고 부른다.

수 공간 \mathbb{R}^n의 각 점 *x, y*에 대해 \overrightarrow{xy} := y-x로 정의하면, \mathbb{R}^n과 (표준 내적을 가진 내적 공간으로서의) \mathbb{R}^n의 쌍 (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)는 유클리드 공간의 한 예시이며, 이것을 *n*차원 '''표준 유클리드 공간'''이라고 부른다 (기호 남용으로, 이것을 또한 단순히 \mathbb{R}^n으로 나타낸다).

(*S*, *V*)를 *n*차원 유클리드 공간이라고 할 때, *S*의 점 *O*와 *V*의 순서화된 기저 \mathbf{B} := (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n)의 쌍 (*O*; B)를 (*S*, *V*)의 '''좌표계'''라고 부르고, 점 *O*를 좌표계의 '''원점'''이라고 부른다. 특히 (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n)가 *V*의 정규 직교 기저인 좌표계를 '''직교 좌표계'''라고 부른다. (*S*, *V*)의 좌표계 (*O*; B)가 하나 고정되면, 임의의 *P* ∈ *S*에 대해, 딱 하나 \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n가 존재하여,

\overrightarrow{OP} = x_1\cdot \mathbf{e}_1 + \cdots + x_n\cdot \mathbf{e}_n

이 성립한다. 여기서, 이 \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n를 좌표계 (*O*; B)에서의 '''*P*의 좌표'''라고 부른다.

일단 직교 좌표계가 고정되면, *n*차원 유클리드 공간 (*S*, *V*)는 *n*차원 표준 유클리드 공간 (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)과 동일시할 수 있으므로, 유클리드 공간이라고 하면 표준 유클리드 공간을 지칭하는 경우가 많다.

또한, *n*차원 유클리드 공간의 정의에서, "실수 내적 공간"을 "실수 벡터 공간"으로 대체하여 얻는 공간을 *n*-'''차원 아핀 공간'''이라고 부른다. 유클리드 공간은 계량 (내적)을 가진 특별한 아핀 공간이라고 할 수 있다. 계량을 갖지 않는 아핀 공간에서는 두 점 사이의 거리나 선분이 이루는 각도 등은 정의되지 않지만, 유클리드 공간에서는 이러한 개념을 정의할 수 있다.

3. 아핀 구조

유클리드 공간의 기본적인 성질 중 상당수는 유클리드 공간이 아핀 공간이라는 사실에 기반하며, 이러한 성질을 아핀 성질이라고 부른다. 아핀 성질에는 선, 부분 공간, 평행과 같은 개념들이 포함되며, 이들은 하위 섹션에서 더 자세히 다루어진다.

유클리드 공간, 예를 들어 유클리드 평면을 이해하는 한 가지 방법은 특정 관계(거리, 각도 등)를 만족하는 점 집합으로 생각하는 것이다. 평면에는 두 가지 기본적인 연산이 있다. 하나는 평행 이동으로, 평면의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 옮기는 변환이다. 다른 하나는 특정 점 주위의 회전으로, 모든 점을 해당 점을 중심으로 같은 각도만큼 돌리는 변환이다. 유클리드 기하학의 기본 원칙 중 하나는, 두 도형(점 집합의 부분 집합)이 합동이라는 것은 평행 이동, 회전, 그리고 반사를 유한 번 조합하여(이를 유클리드 운동군이라 함) 하나의 도형을 다른 도형으로 변환할 수 있다는 것이다.

이러한 개념들을 수학적으로 엄밀하게 만들기 위해, 유클리드 공간은 보통 내적이 정의된 실수 벡터 공간으로 정의된다. 이 정의 하에서 다음이 성립한다.


  • 유클리드 공간의 점들은 해당 차원의 좌표 벡터에 대응된다.
  • 평행 이동은 벡터의 덧셈 연산에 해당한다.
  • 회전을 정의하는 각도나 점 사이의 거리는 내적으로부터 유도된다.


이러한 방식으로 유클리드 평면을 기술하면, 개념을 임의의 차원으로 확장하는 것이 비교적 간단하다. 고차원에서도 대부분의 용어나 공식은 유사하게 적용된다. (단, 고차원에서의 회전은 좀 더 복잡하며, 고차원 공간을 시각화하는 것은 전문가에게도 어려운 일이다.)

마지막으로 유의할 점은, 유클리드 공간은 엄밀히 말해 벡터 공간 그 자체가 아니라, 벡터 공간이 작용하는 아핀 공간으로 간주해야 한다는 것이다. 직관적으로 이는 유클리드 공간에는 고정된 '원점'이 없다는 의미이다. 어떤 점이든 평행 이동을 통해 원점으로 삼을 수 있기 때문이다. 하지만 대부분의 경우 이 구분을 엄격하게 하지 않아도 큰 문제는 발생하지 않는다.

아핀 구조 내에서는 유클리드 공간의 부분 공간, 직선, 평면 등의 기하학적 대상과 그들 사이의 관계(예: 평행성)가 정의된다.

3. 1. 부분 공간

유클리드 공간을 E라 하고, \overrightarrow E를 그에 연관된 벡터 공간이라고 하자.

E의 '평면', '유클리드 부분 공간' 또는 '아핀 부분 공간'은 다음 조건을 만족하는 E의 부분 집합 F이다.

부분 집합 F 안의 임의의 두 점 P, Q에 대해 벡터 \overrightarrow {PQ}를 만들었을 때, 이 벡터들의 집합 \overrightarrow F = \{\overrightarrow {PQ} \mid P\in F, Q\in F \}가 벡터 공간 \overrightarrow E의 선형 부분 공간(벡터 부분 공간)이 되어야 한다.

이때 유클리드 부분 공간 F는 \overrightarrow F를 연관된 벡터 공간으로 갖는 유클리드 공간이 된다. 선형 부분 공간 \overrightarrow F는 F의 '방향'이라고도 불린다.

만약 P가 F 안의 한 점이라면, 부분 공간 F는 다음과 같이 표현할 수 있다.

F = \{P+v \mid v\in \overrightarrow F \}

반대로, E의 한 점 P와 \overrightarrow E의 선형 부분 공간 \overrightarrow V가 주어졌을 때, 집합

P + \overrightarrow V = \{P + v \mid v\in \overrightarrow V \}

는 방향이 \overrightarrow V인 유클리드 부분 공간이다. 이 부분 공간의 연관된 벡터 공간은 \overrightarrow V이다.

유클리드 벡터 공간 \overrightarrow E(즉, \overrightarrow E 자체를 유클리드 공간으로 본 것)는 두 종류의 부분 공간을 가진다: 유클리드 부분 공간과 선형 부분 공간이다. 선형 부분 공간은 항상 유클리드 부분 공간에 해당한다. 반대로 유클리드 부분 공간이 선형 부분 공간이 되기 위한 필요충분조건은 그 부분 공간이 영벡터를 포함하는 것이다.

n차원 유클리드 공간 (S, V)를 생각해보자. S의 부분 집합 T가, S의 어떤 점 P와 V의 어떤 r차원 부분 공간 W (r \le n)를 사용하여,

T = \{ Q\in S \mid \overrightarrow{PQ} \in W\}

와 같이 표현될 때, T를 (S, V)의 r'''차원 부분 공간'''이라고 한다. 특히, 1차원 부분 공간을 '''직선'''(아핀 부분 직선), 2차원 부분 공간을 '''평면'''(아핀 부분 평면)이라고 부른다. (S, V)의 부분 공간 T에 대해, 위 정의에 사용된 점 P는 여러 가지로 선택될 수 있지만, 벡터 부분 공간 W는 유일하게 결정된다. 이 W를 '''T에 부속하는 내적 공간'''이라고 부른다.

3. 2. 직선과 선분

유클리드 공간에서 '''선'''은 1차원 유클리드 부분 공간이다. 1차원 벡터 공간은 0이 아닌 임의의 벡터 하나로 생성될 수 있으므로, 선은 다음과 같은 형태를 가진다.

\Bigl\{P + \lambda \overrightarrow{PQ} \mathrel{\Big|} \lambda \in \mathbb{R} \Bigr\},\vphantom{\frac{(}{}}

여기서 ''P''와 ''Q''는 선 위의 서로 다른 두 점이다.

이로부터 '''서로 다른 두 점을 지나는 선은 정확히 하나 존재한다'''는 중요한 성질이 도출된다. 이는 또한 서로 다른 두 선은 최대 한 점에서만 만난다는 것을 의미한다.

''P''와 ''Q''를 지나는 선을 좀 더 대칭적으로 표현하면 다음과 같다.

\Bigl\{O + (1-\lambda)\overrightarrow{OP} + \lambda \overrightarrow{OQ} \mathrel{\Big|} \lambda \in \mathbb{R} \Bigr\},\vphantom{\frac{(}{}}

여기서 ''O''는 임의의 점이며, 반드시 선 위에 있을 필요는 없다.

유클리드 벡터 공간에서는 보통 영벡터를 ''O''로 선택하여 공식을 단순화한다.

\bigl\{(1-\lambda) P + \lambda Q \mathrel{\big|} \lambda \in \mathbb{R}\bigr\}.

일반적으로 아핀 결합 및 무게 중심 개념을 이용하여 모든 유클리드 공간에서 이 공식을 사용한다.

점 ''P''와 ''Q''를 잇는 '''선분'''은 위 공식에서 0 \le \lambda \le 1 조건을 만족하는 점들의 집합이다. 이는 ''PQ'' 또는 ''QP''로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

PQ = QP = \Bigl\{P+\lambda \overrightarrow{PQ} \mathrel{\Big|} 0 \le \lambda \le 1\Bigr\}.\vphantom{\frac{(}{}}

3. 3. 평행성

유클리드 공간에서 같은 차원을 가진 두 개의 부분 공간 S와 T는 방향이 같으면(즉, 연관된 벡터 공간이 같으면) 평행하다고 한다. 즉, 하나의 부분을 다른 부분으로 매핑하는 변환 벡터 v가 존재하여 `T = S + v` 관계가 성립하면 평행하다.

점 P와 부분 공간 S가 주어졌을 때, P를 포함하고 S와 평행한 부분 공간은 `P + 벡터 S`로 유일하게 존재한다. S가 직선(차원 1의 부분 공간)인 경우, 이 속성은 플레이페어 공리에 해당한다.

결과적으로 유클리드 평면에서 두 직선은 한 점에서 만나거나 평행하다.

평행 부분 공간의 개념은 서로 다른 차원의 부분 공간으로도 확장될 수 있다. 두 부분 공간의 방향 중 하나가 다른 부분 공간의 방향에 포함되어 있으면 두 부분 공간은 평행하다고 본다.

4. 계량 구조

n차원 유클리드 공간 \mathbb R^n은 벡터 공간으로서 다음과 같은 내적을 갖춘다. 두 벡터 u = (u_1, \dots, u_n)와 v = (v_1, \dots, v_n)에 대해 내적은 다음과 같이 정의된다.

\langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i

이 내적 연산은 점곱(dot product)이라고도 불리며, 종종 u \cdot v로 표기된다.

일반적으로 유클리드 공간 ''E''와 관련된 벡터 공간 \overrightarrow E는 이러한 내적을 갖춘 내적 공간이다. 내적은 다음 조건을 만족하는 대칭 쌍선형 형식이다.

\begin{align}

\overrightarrow E \times \overrightarrow E &\to \mathbb{R}\\

(x,y)&\mapsto \langle x,y \rangle = x \cdot y

\end{align}

또한, 내적은 양의 정부호 성질을 만족한다. 즉, 영벡터가 아닌 모든 벡터 x에 대해 x \cdot x > 0이다.

이 내적 구조는 유클리드 공간에 기하학적 구조, 즉 계량(metric)을 부여하는 핵심 요소이다. 내적을 통해 벡터의 크기를 나타내는 유클리드 노름(\|x\| = \sqrt{x \cdot x}), 두 점 사이의 거리, 그리고 두 벡터 또는 선분 사이의 각도 등을 정의할 수 있다. 이러한 계량적 개념들은 유클리드 기하학의 기본적인 성질들을 수학적으로 엄밀하게 다루는 기초가 된다.

4. 1. 유클리드 노름

유클리드 공간 ''E''에 관련된 벡터 공간 \overrightarrow E는 내적 공간이다. 이는 양의 정부호인 대칭 쌍선형 형식 \overrightarrow E \times \overrightarrow E \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto \langle x,y \rangle을 갖는다는 것을 의미한다. (즉, x \neq 0일 때 \langle x,x \rangle는 항상 양수이다.)

유클리드 공간의 내적은 종종 '점곱'이라고 불리며 x \cdot y로 표기된다. 이는 특히 데카르트 좌표계가 선택되었을 때 그러하며, 이 경우 두 벡터의 내적은 해당 좌표 벡터들의 점곱이다. 이러한 이유와 역사적인 이유로 인해, 유클리드 공간의 내적에는 괄호 표기법 \langle x,y \rangle보다 점 표기법 x \cdot y이 더 일반적으로 사용된다.

벡터 ''x''의 유클리드 노름은 자기 자신과의 내적(점곱)의 제곱근으로 정의되며, 다음과 같이 나타낸다.

\|x\| = \sqrt {x \cdot x}

내적과 노름은 유클리드 기하학의 거리 공간 및 위상 공간의 성질을 표현하고 증명하는 데 사용된다.

4. 2. 거리와 길이

유클리드 공간의 두 점 사이의 '''거리'''는 한 점을 다른 점으로 이동시키는 벡터의 노름으로 정의된다. 즉, 두 점 P와 Q가 주어졌을 때, 이 두 점 사이의 거리는 변환 벡터 \overrightarrow{PQ}의 노름과 같다.

d(P,Q) = \Bigl\|\overrightarrow {PQ}\Bigr\|.

선분 PQ의 '''길이'''는 두 끝점 P와 Q 사이의 거리 d(P, Q)와 같다. 선분 PQ의 길이는 종종 |PQ|로 표기하기도 한다.

유클리드 거리는 거리 함수의 성질을 만족한다. 즉, 거리는 항상 양수이고(d(P, Q) > 0 if P \neq Q, d(P, P) = 0), d(P, Q) = d(Q, P)이며(대칭성), 삼각 부등식을 만족한다.

d(P,Q)\le d(P,R) + d(R, Q).

이 부등식에서 등호는 점 R이 선분 PQ 위에 있을 때만 성립한다. 삼각 부등식은 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 항상 작거나 같다는 것을 의미하며, 이 때문에 '삼각 부등식'이라는 이름이 붙었다.

유클리드 거리가 정의된 유클리드 공간은 완비 거리 공간이다. 이는 공간 내의 모든 코시 수열이 공간 내의 한 점으로 수렴한다는 것을 의미한다.

데카르트 좌표계가 도입된 n차원 유클리드 공간에서 두 점 P = (x_1, x_2, \dots, x_n)와 Q = (y_1, y_2, \dots, y_n) 사이의 거리는 다음과 같이 계산할 수 있다.

d(P, Q) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - x_i)^2}

4. 3. 직교성

유클리드 공간 ''E''의 연관 벡터 공간 \overrightarrow E의 두 개의 영벡터가 아닌 벡터 ''u''와 ''v''는 내적이 0일 때 '''수직''' 또는 '''직교'''라고 한다.

u \cdot v =0

\overrightarrow E의 두 선형 부분 공간은 첫 번째 부분 공간의 모든 영벡터가 아닌 벡터가 두 번째 부분 공간의 모든 영벡터가 아닌 벡터에 수직일 때 직교한다. 이는 선형 부분 공간의 교집합이 영벡터로 축소됨을 의미한다.

두 개의 선, 더 일반적으로 두 개의 유클리드 부분 공간(선은 하나의 유클리드 부분 공간으로 간주될 수 있다)은 방향(유클리드 부분 공간의 연관 벡터 공간)이 직교할 때 직교한다. 교차하는 두 개의 직교 선은 '''수직'''이라고 한다.

공통 끝점 ''A''를 공유하는 두 개의 선분 ''AB''와 ''AC''는 벡터 \overrightarrow {AB}\vphantom{\frac){}}와 \overrightarrow {AC}\vphantom{\frac){}}가 직교할 때 '''수직'''이거나 '''직각을 형성'''한다.

''AB''와 ''AC''가 직각을 형성하면 다음이 성립한다.

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2.

이것은 피타고라스 정리이다. 이 문맥에서는 내적의 관점에서 표현하면 내적의 쌍선형성과 대칭성을 사용하여 증명하기 쉽다.

\begin{align}

|BC|^2 &= \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {BC} \vphantom{\frac({}}\\[2mu]

&=\Bigl(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\Bigr) \cdot \Bigl(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\Bigr)\\[4mu]

&=\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AC} -2 \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}\\[6mu]

&=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AC}\\[6mu]

&=|AB|^2 + |AC|^2.

\end{align}

여기에서 \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC} = 0 \vphantom{\frac({}}는 이 두 벡터가 직교하기 때문에 사용된다.

4. 4. 각도

유클리드 공간 E에서 0이 아닌 두 벡터 ''x''와 ''y'' 사이의 (비방향) 각도 ''θ''는 다음과 같이 정의된다.

\theta = \arccos\left(\frac{x\cdot y}

\right)

여기서 \arccos는 아크코사인 함수의 주요 값이다. 코시-슈바르츠 부등식에 의해, 아크코사인의 인수는 구간 `[-1, 1]` 안에 존재한다. 따라서 ''θ''는 실수이며, 0 ≤ θ ≤ π (라디안) 또는 0 ≤ θ ≤ 180 (도)의 범위를 가진다.

유클리드 직선에서는 두 벡터 사이의 각도가 0 또는 π만 가능하기 때문에 각도의 개념이 크게 유용하지는 않다.

방향이 지정된 유클리드 평면에서는 두 벡터의 방향각을 정의할 수 있다. 두 벡터 ''x''와 ''y''의 방향각은 벡터 ''y''와 ''x''의 방향각과 크기는 같고 부호는 반대이다. 이 경우 두 벡터의 각도는 정수 배수의 2π를 더하거나 빼도 같은 각도로 간주된다(모듈러 산술). 예를 들어, 요각π < θ < 2π는 음의 각도 −π < θ − 2π < 0와 동일하게 취급될 수 있다.

벡터에 양수의 스칼라 곱을 해도 두 벡터 사이의 각도는 변하지 않는다. 좀 더 일반적으로, ''x''와 ''y''가 두 벡터이고, ''λ''와 ''μ''가 실수일 때, 두 벡터 ''λx''와 ''μy'' 사이의 각도는 다음과 같다.

\operatorname{angle}(\lambda x, \mu y)= \begin{cases}

\operatorname{angle}(x, y) \qquad\qquad \text{if } \lambda \text{ and } \mu \text{ have the same sign}\\

\pi - \operatorname{angle}(x, y)\qquad \text{otherwise}.

\end{cases}

유클리드 공간의 세 점 A, B, C가 주어졌을 때, 선분 AB와 선분 AC 사이의 각도는 벡터 \overrightarrow{AB}와 벡터 \overrightarrow{AC} 사이의 각도로 정의된다. 벡터에 양수를 곱해도 각도가 변하지 않으므로, 점 A를 시작점으로 공유하는 두 반직선의 각도도 정의할 수 있다. 이는 각 반직선 위에 점 B와 C를 각각 잡아 선분 AB와 AC 사이의 각도를 측정하는 것과 같다.

두 직선 사이의 각도는 다음과 같이 정의된다. 두 직선 위에 각각 선분을 하나씩 잡았을 때 그 두 선분 사이의 각도를 ''θ''라고 하면, 다른 선분 쌍을 잡더라도 그 각도는 ''θ'' 또는 π − θ가 된다. 이 두 각도 중 하나는 반드시 구간 `[0, π/2]`에 속하고, 다른 하나는 `[π/2, π]`에 속한다. 두 직선 사이의 비방향 각도는 이 중에서 구간 `[0, π/2]`에 속하는 값으로 정의된다. 만약 방향이 지정된 유클리드 평면이라면, 두 직선 사이의 방향각은 구간 `[−π/2, π/2]`에 속하는 값으로 정의된다.

4. 5. 데카르트 좌표계

모든 유클리드 벡터 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 이는 서로 직교하는(e_i\cdot e_j = 0, i \ne j) 단위 벡터(\|e_i\| = 1)들로 이루어진 기저 (e_1, \dots, e_n)를 의미한다. 만약 임의의 기저 (b_1, \dots, b_n)가 주어진다면, 그람-슈미트 과정을 이용하여 정규 직교 기저를 계산할 수 있다.[1]

유클리드 공간 E가 주어지면, '''데카르트 좌표계'''는 벡터 공간 \overrightarrow E의 정규 직교 기저와 '''원점'''이라고 불리는 E의 한 점 O로 구성된다. 이 데카르트 좌표계 (O, e_1, \dots, e_n)는 공간 E의 점과 벡터 공간 \overrightarrow E의 벡터 모두에 대한 데카르트 좌표를 정의할 수 있게 한다.

벡터 공간\overrightarrow E에 속하는 벡터 v의 데카르트 좌표는 정규 직교 기저 e_1, \dots, e_n에 대한 v의 계수이다. 예를 들어, 벡터 v가 v = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \dots + \alpha_n e_n와 같이 기저 벡터들의 선형 결합으로 표현될 때, 그 계수들의 모음 (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)이 벡터 v의 데카르트 좌표가 된다. 기저가 정규 직교 기저이기 때문에, i번째 계수 \alpha_i는 내적 v\cdot e_i와 같다.

유클리드 공간 E에 속하는 점 P의 데카르트 좌표는 원점 O에서 점 P로 향하는 위치 벡터 \overrightarrow{OP}의 데카르트 좌표로 정의된다.

일단 직교 좌표계가 하나 고정되면, n차원 유클리드 공간은 n차원 표준 유클리드 공간 \mathbb R^n과 동일시할 수 있으므로, 많은 경우 유클리드 공간이라고 하면 표준 유클리드 공간을 지칭하기도 한다.

4. 6. 다른 좌표계

유클리드 공간은 아핀 공간의 일종이므로, 유클리드 프레임(좌표계 틀)과 유사하지만 기저 벡터들이 반드시 정규 직교일 필요는 없는 아핀 프레임을 생각할 수 있다. 이를 통해 아핀 좌표를 정의할 수 있는데, 기저 벡터들이 서로 직교하지 않을 수 있다는 점을 강조하기 위해 때때로 사교 좌표계(斜交座標系, oblique coordinate system)라고 부르기도 한다.

''n''차원 유클리드 공간의 아핀 기저는 하나의 초평면 위에 동시에 놓여 있지 않은 ''n'' + 1 개의 점들의 집합으로 정의된다. 이러한 아핀 기저는 공간 내의 모든 점에 대해 바리 중심 좌표(무게중심 좌표)를 정의할 수 있게 한다.

''n''차원의 유클리드 공간 ''E''에는 위에서 언급한 아핀 좌표 외에도 다양한 종류의 좌표계를 정의할 수 있다. 예를 들어, ''E''의 조밀한 열린 부분 집합에서 Rn(n차원 실수 공간)의 열린 부분 집합으로 가는 위상 동형 사상 또는 미분 동형 사상인 함수 ''f''를 생각해보자. 이때 ''E'' 안의 한 점 ''x''의 좌표는 함수값 ''f''(''x'')의 각 성분으로 정의된다. 2차원 공간의 극좌표계나 3차원 공간의 구면 좌표계, 원통 좌표계 등은 이러한 방식으로 정의되는 대표적인 예이다.

하지만 함수 ''f''가 정의되지 않는 영역의 점들에 대해서는 좌표를 정의하기 어려울 수 있다. 때로는 그 점 주변의 다른 점들의 좌표값의 극한을 이용하여 좌표를 정의하기도 하지만, 이렇게 정의된 좌표는 유일하지 않거나 그 점 주변에서 연속적이지 않을 수 있다. 예를 들어, 구면 좌표계에서 북극이나 남극점에서는 경도를 명확히 정의할 수 없으며, 특정 자오선(예: 날짜 변경선)을 따라서는 경도 값이 –180°에서 +180°로 불연속적으로 변하게 된다.

좌표를 정의하는 이러한 방식은 유클리드 공간뿐만 아니라 다양체와 같은 다른 수학적 구조로도 쉽게 확장하여 적용될 수 있다.

5. 등거리 변환

두 거리 공간 사이의 등거리 변환은 거리를 보존하는 전단사 함수이다. 즉, 두 점 x, y와 등거리 변환 f에 대해 다음이 성립한다.

d(f(x), f(y))= d(x,y).

유클리드 벡터 공간의 경우, 원점을 원점으로 보내는 등거리 변환은 벡터의 노름을 보존한다. 벡터의 노름은 원점으로부터의 거리이기 때문이다.

\|f(x)\| = \|x\|.

또한 이러한 등거리 변환은 내적도 보존한다.

f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,

이는 내적이 노름으로 표현될 수 있기 때문이다(x \cdot y=\tfrac 1 2 \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right)). 유클리드 벡터 공간의 등거리 변환은 선형 동형사상이다.

유클리드 공간 E에서 F로 가는 등거리 변환 f\colon E\to F는 연관된 유클리드 벡터 공간 \overrightarrow E에서 \overrightarrow F로 가는 등거리 변환 \overrightarrow f \colon \overrightarrow E \to \overrightarrow F를 정의한다. 이는 두 등거리 유클리드 공간의 차원이 반드시 같다는 것을 의미한다. 반대로, E와 F가 유클리드 공간이고, 점 O \in E, O' \in F와 벡터 공간 사이의 등거리 변환 \overrightarrow f\colon \overrightarrow E\to \overrightarrow F가 주어지면,

f(P)=O' + \overrightarrow f\Bigl(\overrightarrow{OP}\Bigr)

로 정의된 함수 f\colon E\to F는 유클리드 공간의 등거리 변환이 된다.

이로부터 유클리드 공간의 등거리 변환은 직선을 직선으로, 더 일반적으로 유클리드 부분 공간을 같은 차원의 유클리드 부분 공간으로 변환시킨다는 것을 알 수 있다. 또한, 이러한 부분 공간으로 제한된 등거리 변환은 그 자체로 해당 부분 공간의 등거리 변환이 된다.

유클리드 공간 E가 주어졌을 때, 연관된 벡터 공간 \overrightarrow E 역시 유클리드 공간으로 볼 수 있다. E 안의 임의의 점 O는 E에서 \overrightarrow E로 가는 등거리 변환을 정의한다.

P\mapsto \overrightarrow {OP}.

이 변환은 점 O를 영벡터로 보내고, 항등 변환을 연관된 선형 변환으로 가진다. 이 변환의 역 등거리 변환은 다음과 같다.

v\mapsto O+v.

유클리드 프레임 (O, e_1, \dots, e_n)을 사용하면, 유클리드 공간 E에서 실수의 n-튜플 공간 \R^n으로 가는 다음 함수를 정의할 수 있다.

\begin{align}

E&\to \R^n\\

P&\mapsto \Bigl(e_1\cdot \overrightarrow {OP}, \dots, e_n\cdot\overrightarrow {OP}\Bigr).

\end{align}

이 함수는 유클리드 공간의 등거리 변환이다. 그 역 등거리 변환은 다음과 같다.

\begin{align}

\R^n&\to E \\

(x_1\dots, x_n)&\mapsto \left(O+x_1e_1+ \dots + x_ne_n\right).

\end{align}

이는 동형 사상을 제외하면, 주어진 차원의 유클리드 공간은 단 하나뿐임을 의미한다. 따라서 많은 문헌에서 \R^n을 차원 n의 유일한 유클리드 공간으로 간주하는 것이 정당화된다.

5. 1. 유클리드 군

유클리드 공간에서 자신으로의 등거리 변환을 유클리드 등거리 변환, 유클리드 변환 또는 강체 변환이라고 한다. 유클리드 공간의 강체 변환은 합성 연산에 대해 군을 이루며, 이를 유클리드 군이라고 부른다. 종종 E(n) 또는 ISO(n)으로 표기한다.

가장 간단한 유클리드 변환은 평행 이동 P \to P+v 이다. 평행 이동은 벡터와 일대일 대응 관계에 있으며, 평행 이동들의 집합은 유클리드 군의 정규 부분군을 형성한다.

유클리드 공간 ''E''의 유클리드 등거리 변환 ''f''는 연관된 벡터 공간 \overrightarrow E 위의 선형 등거리 변환 \overrightarrow f를 다음과 같이 정의한다: ''E''의 임의의 점 ''O''에 대해,

\overrightarrow f\Bigl(\overrightarrow {OP}\Bigr)= f(P)-f(O).\vphantom{\frac({}}

이 \overrightarrow f는 ''O''의 선택에 의존하지 않는 선형 변환이다.

함수 f \mapsto \overrightarrow f는 유클리드 군에서 선형 등거리 변환들의 군인 직교군 O(n)으로 가는 군 준동형 사상이다. 이 준동형 사상의 핵은 평행 이동들의 군이며, 이는 유클리드 군의 정규 부분군임을 다시 한번 보여준다.

주어진 점 ''P''를 고정시키는 등거리 변환들의 집합은 ''P''에서의 안정자 부분군을 형성한다. 앞서 정의한 군 준동형 사상을 이 안정자 부분군에 제한하면 동형 사상이 된다. 따라서 한 점을 고정하는 등거리 변환들의 군은 직교군 O(n)과 동형이다.

점 ''P''와 등거리 변환 ''f''에 대해, ''P''를 f(P)로 보내는 평행 이동을 ''t''라고 하자. 그러면 g = t^{-1} \circ f는 ''P''를 고정하는 등거리 변환이다. 즉, ''g''는 직교 변환으로 간주할 수 있다. 따라서 모든 유클리드 변환 ''f''는 평행 이동 ''t''와 ''P''를 고정하는 등거리 변환(직교 변환) ''g''의 합성 f = t \circ g로 나타낼 수 있다. 이는 유클리드 군이 평행 이동 군과 직교군의 반직접 곱임을 의미한다.

특수 직교군 SO(n)은 방향을 보존하는 직교 변환들로 이루어진 O(n)의 정규 부분군이다. SO(n)은 O(n)에서 지수가 2인 부분군이다. 군 준동형 사상 f \mapsto \overrightarrow f에 대해 특수 직교군 SO(n)의 원상을 특수 유클리드 군 또는 변위 군이라고 하며, 이는 유클리드 군에서 지수가 2인 정규 부분군이다. 이 군의 원소들을 강체 운동 또는 변위라고 한다.

강체 운동에는 항등 함수, 평행 이동, 회전(적어도 한 점을 고정하는 강체 운동), 그리고 나사 운동이 포함된다.

강체 운동이 아닌 강체 변환의 대표적인 예는 반사이다. 반사는 특정 초평면 위의 점들을 고정시키며 항등 변환이 아닌 강체 변환이다. 특수 유클리드 군은 유클리드 군에서 지수가 2인 부분군이므로, 임의의 반사 ''r''을 하나 고정하면, 강체 운동이 아닌 모든 강체 변환은 ''r''과 어떤 강체 운동의 합성으로 나타낼 수 있다. 글라이드 반사는 강체 운동도 아니고 단순 반사도 아닌 강체 변환의 한 예이다.

여기서 다루는 유클리드 군, 직교군, 특수 유클리드 군 등은 모두 리 군이자 대수적 군이다.

6. 위상

유클리드 거리는 유클리드 공간을 거리 공간으로 만들고, 따라서 위상 공간으로 만든다. 이 위상은 유클리드 위상 또는 통상적인 위상이라고 불린다.[1] \mathbb R^n의 경우, 이 위상은 실수 직선 \mathbb R의 n개 복사본의 곱위상과 동치임이 확인된다.

유클리드 위상에서 열린 집합은 그 집합에 속하는 각 점에 대해, 그 점을 중심으로 하는 적당한 크기의 열린 공을 반드시 포함하는 부분 집합으로 정의된다. 즉, 열린 공들은 유클리드 위상의 기저를 형성한다.

유클리드 공간의 위상 차원은 그 차원 n과 같다. 이것은 서로 다른 차원 n과 m(n \ne m)에 대해, n차원 유클리드 공간(E^n)과 m차원 유클리드 공간(E^m)은 서로 위상 동형이 아니라는 것을 의미한다. 이는 명백한 사실처럼 보이지만, 실제로 증명하는 것은 쉽지 않다.

브라우어르의 영역 불변성 정리는 유클리드 공간의 위상적 성질에 관한 중요한 정리이다. 이 정리에 따르면, 유클리드 공간의 부분 집합이 (부분 공간 위상에 대해) 유클리드 공간의 같은 차원의 열린 부분 집합과 위상 동형일 때에만 그 부분 집합 자신도 열린 집합이다.

유클리드 공간은 완비이고 국소 컴팩트하다. 즉, 유클리드 공간의 닫힌 부분 집합이 유계(다시 말해, 어떤 공 안에 포함됨)이면 콤팩트하다. 특히, 닫힌 공은 콤팩트 집합이다.

7. 공리적 정의

현대적인 유클리드 공간의 정의는 고대 유클리드가 제시한 개념과는 근본적으로 다르다. 유클리드는 공간을 인간의 인식과 독립적으로 존재하는 물리적 세계의 일부로 간주하여 별도로 정의하지 않았다. 공간에 대한 형식적인 정의의 필요성은 19세기 말 비유클리드 기하학이 등장하면서 비로소 제기되었다.

유클리드 공간을 공리적으로 정의하려는 두 가지 주요 접근 방식이 나타났다. 첫째, 펠릭스 클라인은 에를랑겐 프로그램을 통해 기하학을 그 대칭의 관점에서 정의할 것을 제안했다. 이 접근법에 따르면, 유클리드 공간은 평행 이동 및 등거리 변환의 그룹을 중심으로 특징지어진다.

둘째, 다비트 힐베르트는 유클리드의 공준에서 영감을 받아 일련의 힐베르트의 공리를 제시했다. 이 공리계는 실수의 개념을 명시적으로 포함하지 않으므로 합성 기하학의 범주에 속한다. 이후 G. D. 비르코프와 알프레트 타르스키는 실수를 사용하여 더 간결한 형태의 공리계(비르코프의 공리, 타르스키의 공리)를 각각 제안했다.

에밀 아르틴은 그의 저서 ''기하 대수''에서 이러한 다양한 공리적 정의들이 본질적으로 동일한 유클리드 공간을 정의한다는 것을 증명했다. 유클리드 공간에 대한 여러 정의들이 힐베르트의 공리를 만족시키며, 실수를 포함하는 정의들(위에서 언급된 정의 포함)이 서로 동등하다는 것을 보이는 것은 비교적 용이하다. 아르틴 증명의 어려운 부분은 힐베르트 공리 체계에서 다루는 합동 개념(선분에 대한 동치 관계)으로부터 정의되는 '길이'가 음이 아닌 실수의 속성을 만족함을 보이는 것이었다. 아르틴은 힐베르트의 공리와 동등한 공리들을 사용하여 이를 증명했다.

8. 일반화

유클리드 공간은 다양한 방향으로 일반화될 수 있다. 예를 들어, 에를랑겐 프로그램의 관점에서 평행 이동, 회전과 같은 변환에 대해 안정적인 점 집합을 연구하거나, 위상수학적으로 '''R'''''n''이나 평행 이동군 ''T''''n''과의 관계를 탐구할 수 있다. 또한 거리 공간으로서의 위상적 성질(완비성, 국소 콤팩트성 등)이나, 곡률 또는 계량과 같은 기하학적 구조, 호몰로지나 호모토피 이론 등을 통해 더 추상적인 공간으로 확장될 수 있다.

현대 수학에서 유클리드 공간은 더 복잡하고 일반적인 기하학적 대상들을 이해하는 기본적인 모델 역할을 한다.

유클리드 공간의 정의에서 사용되는 실수체 '''R'''을 피타고라스 순서체와 같은 다른 대수적 구조로 대체하여 유사한 거리 공간을 정의하고 탐구하는 것도 가능하다.

8. 1. 비유클리드 기하학

19세기 말 비유클리드 기하학이 등장하면서, 유클리드 공간과 유사하게 기하학적 추론을 할 수 있는 다양한 종류의 공간들이 연구되기 시작했다. 이러한 공간들은 유클리드 공간과 일부 성질을 공유하지만, 때로는 직관과 다른 독특한 성질을 가지기도 한다. 일부 비유클리드 공간은 정의 과정에서 유클리드 기하학을 활용하거나, 더 높은 차원의 유클리드 공간 내의 부분 공간으로 표현될 수 있다. 기하학적 공리를 통해 정의된 공간을 유클리드 공간 안에 매장시키는 것은 해당 이론이 무모순성을 증명하는 표준적인 방법 중 하나이다. 이는 유클리드 기하학 자체가 모순이 없다는 가정 하에 (증명할 수는 없지만) 이루어진다.

'비유클리드 기하학'은 일반적으로 평행선 공준이 성립하지 않는 기하학적 공간을 다룬다. 대표적인 예로는 삼각형 내각의 합이 180°보다 큰 타원 기하학과 180°보다 작은 쌍곡 기하학이 있다. 19세기 후반 이러한 기하학들이 소개되고, 유클리드 기하학이 모순이 없다면 비유클리드 기하학 역시 모순이 없다는 사실이 증명되면서, 이는 20세기 초 수학 기초의 위기를 불러온 역설 중 하나가 되었고 수학에서 공리적 이론의 체계화를 촉진하는 계기가 되었다.

현대 수학에서 유클리드 공간은 더 복잡한 기하학적 대상을 이해하는 기본적인 틀을 제공한다. 예를 들어, 미분다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 미분 동상인 하우스도르프 공간이다. 미분 동상 사상은 거리나 각도를 보존하지 않기 때문에, 유클리드 기하학의 핵심 개념들을 일반적인 미분 다양체에 그대로 적용하기는 어렵다. 하지만 다양체의 각 점의 접공간에 매끄럽게 변하는 내적을 부여할 수 있으며, 이러한 구조를 가진 다양체를 리만 다양체라고 부른다. 즉, 리만 다양체는 유클리드 공간을 변형하고 이어 붙여 만든 공간으로 볼 수 있다. 리만 다양체에서는 거리나 각도 개념을 다룰 수 있지만, 공간의 곡률 때문에 그 성질은 비유클리드적으로 나타난다. 가장 단순한 리만 다양체는 일정한 내적을 갖춘 '''R'''''n'' 공간으로, 이는 본질적으로 ''n''-차원 유클리드 공간과 동일하다.

내적이 음의 값을 가질 수 있도록 확장된 유클리드 공간의 유사체를 의사 유클리드 공간이라고 하며, 이를 기반으로 구성된 매끄러운 다양체를 의사 리만 다양체라고 불린다. 이러한 공간의 가장 유명한 응용 사례는 상대성 이론이다. 질량이 없는 빈 시공간은 평탄한 의사 유클리드 공간인 민코프스키 공간으로 표현된다. 반면, 질량이 있는 시공간은 곡률을 가진 의사 리만 다양체를 이루며, 이 곡률이 바로 중력에 해당한다.

상대성 이론에 따르면 우리가 사는 우주는 유클리드적이지 않다. 이것은 천문학과 우주론의 이론적 고찰에서 중요하며, 또한 전 지구 측위 시스템이나 항공 교통 관제와 같은 실무적인 문제에서도 중요하다. 그렇더라도, 우주의 유클리드적인 모델은, 많은 실용상의 문제에서 충분한 정확성을 가지고 해결하기 위해 이용할 수 있다.

8. 2. 굽은 공간

다양체는 각 점의 근방에서 유클리드 공간과 유사한 공간이다. 기술적으로, 다양체는 각 점이 유클리드 공간의 열린 부분 집합에 위상 동형인 근방을 갖는 위상 공간이다. 다양체는 이러한 "유사성"의 정도가 증가하는 순서로 위상 다양체, 미분 가능 다양체, 매끄러운 다양체, 해석적 다양체로 분류할 수 있다. 그러나 이러한 유형의 "유사성"은 거리와 각도를 정확하게 보존하지는 않는다.

거리와 각도는 다양체의 점에서 접공간에 매끄럽게 변화하는 유클리드 내적을 제공하여 매끄러운 다양체에서 정의할 수 있다(따라서 이러한 접공간은 유클리드 벡터 공간이다). 이로 인해 리만 다양체가 생성된다. 일반적으로 직선은 리만 다양체에 존재하지 않지만, 그 역할은 두 점 사이의 "최단 경로"인 측지선이 수행한다. 이를 통해 측지선을 따라 측정되는 거리와 교차점에서의 접선의 각도인 측지선 사이의 각도를 정의할 수 있다. 따라서 리만 다양체는 국소적으로 굽은 유클리드 공간처럼 동작한다.

유클리드 공간은 자명하게 리만 다양체이다. 이를 잘 보여주는 예는 구의 표면이다. 이 경우 측지선은 대원의 호이며, 이는 항해의 맥락에서 정교선이라고 한다. 더 일반적으로, 비유클리드 기하학의 공간은 리만 다양체로 실현될 수 있다.

n차원 유클리드 공간은 n차원 위상 다양체의 전형적인 예이며, 미분 가능 다양체의 예이기도 하다. n ≠ 4인 경우, n차원 유클리드 공간과 위상 동형인 위상 다양체는 미분 구조까지 포함하여 미분 동형이다. 그러나 n = 4인 경우에는 그렇지 않다는 놀라운 사실이 1982년 사이먼 도널드슨에 의해 증명되었다. 이 반례가 되는 (즉, 4차원 유클리드 공간과 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌) 다양체를 '''이종 4차원 공간'''(exotic 4-spaceseng)이라고 부른다.

현대 수학에서 유클리드 공간은 다른 더 복잡한 기하학적 대상의 원형을 이루고 있다. 예를 들어, 미분 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 미분 동형인 하우스도르프 위상 공간이다. 미분 동형 사상은 거리나 각도와 같은 것을 고려하지 않으므로, 유클리드 기하학에서 중요한 역할을 했던 이러한 개념을 미분 다양체 위에서 생각하는 것은 일반적으로 불가능하다. 그렇더라도, 다양체의 접공간 위에 매끄럽게 변화하는 내적을 부여할 수 있으며, 그러한 것을 리만 다양체라고 부른다. 리만 다양체는 유클리드 공간을 변형하고 붙여서 구성된 공간으로 볼 수 있다. 그러한 공간에서는 거리나 각도의 개념을 다룰 수 있지만, 그 행동은 곡률을 수반하는 비유클리드적인 것이 된다. 가장 단순한 리만 다양체는 일정한 내적을 갖춘 '''R'''n로, 이는 본질적으로 n-차원 유클리드 공간 그 자체와 동일시된다.

내적이 음의 값을 가질 수 있도록 일반화된 유클리드 공간의 유사물을 이라고 불리며, 그러한 공간에서 구성한 매끄러운 다양체는 의사 리만 다양체라고 불린다. 이 공간들의 가장 잘 알려진 응용은 아마도 상대론으로, 여기에서 질량을 갖지 않는 빈 시공간은 민코프스키 공간이라고 불리는 평탄 의사 유클리드 공간으로 표현된다. 또한, 질량을 갖는 시공간은 의사 유클리드가 아닌 의사 리만 다양체를 이루며, 중력은 그 다양체의 곡률에 해당한다.

상대성 이론에 따르면 우리 우주는 유클리드적이지 않다. 이것은 천문학과 우주론의 이론적 고찰에서 중요하며, 또한 전 지구 측위 시스템(GPS)이나 항공 관제와 같은 실무적인 문제에서도 중요하다. 그렇더라도, 우주의 유클리드적인 모델은 많은 실용상의 문제에서 충분한 정확성을 가지고 해결하기 위해 이용할 수 있다.

8. 3. 의사 유클리드 공간

의사 유클리드 공간( Pseudo-Euclidean space|영어 )은 내적이 음의 값을 가질 수 있도록 일반화된 유클리드 공간의 한 종류이다. 이러한 공간을 기반으로 구성된 매끄러운 다양체는 의사 리만 다양체라고 불린다.

가장 잘 알려진 응용 사례는 상대성 이론이다. 이 이론에서 질량이 없는 빈 시공간은 민코프스키 공간이라고 불리는 평탄한 의사 유클리드 공간으로 표현된다. 반면, 질량이 있는 시공간은 중력의 영향을 받아 곡률을 가지는 의사 리만 다양체로 나타내며, 이 곡률이 바로 중력에 해당한다.

상대성 이론에 따르면 우리가 사는 우주는 엄밀히 말해 유클리드 공간이 아니다. 이는 천문학이나 우주론 같은 이론적 연구뿐만 아니라, 전 지구 측위 시스템(GPS)이나 항공 관제와 같은 실용적인 문제에서도 중요한 의미를 갖는다. 그럼에도 불구하고 많은 실용적인 문제에서는 우주를 유클리드 모델로 근사하여 충분한 정확도로 해결할 수 있다.


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